Project Description

Çok sayıda değişkene sahip karmaşık sistemler, onları oluşturan ögelerin birbirleri ile etkileşimleri sayesinde çok büyük ölçekli örüntülere kavuşabiliyorlar. Depremlere neden olan fay hatları, ya da kuş sürülerinin gökteki devinimleri

[1], onları yönlendiren bir “komuta merkezi” olmamasına karşın şaşırtıcı biçimde kendilerini yineleyen şekillere bürünebiliyorlar. Bu şekillerin oluşumunda ve sergiledikleri dinamiklarde hem determinist kurallar, hem de rastlantı rol oynuyor. (Şekil 1)

Şekil 1. Bir bakteri kolonisinin rasgele büyümesini de, kayrak taşlarının içinde mineral oluşumlarını da modelleyebilen “yayınım limitili kümelenme” kuralına göre bilgisayar benzeştirimi ile elde edilmiş şekiller.[3]

Şekil 1. Bir bakteri kolonisinin rasgele büyümesini de, kayrak taşlarının içinde mineral oluşumlarını da modelleyebilen “yayınım limitili kümelenme” kuralına göre bilgisayar benzeştirimi ile elde edilmiş şekiller.[3]

Parçaları bütünün küçük ölçekli kopyalarından oluşan şekillere fraktaller adı veriliyor. Benoit Mandelbrot’un dikkat çektiği ve popülerleştirdiği [2] fraktaller, doğada sıklıkla karşımıza çıkıyorlar: bulutlar, nehir yatakları, ağaç dalları, mineral oluşumlar, sinir hücreleri gibi, her çözünürlük düzeyinde hep kendini yineleyen biçimlere sahipler. Bu yapılar aynı zamanda çok farklı zaman ölçeklerinde devinimler sergileyebiliyorlar. Yerel ya da uzun menzilli etkileşimlerin, kendiliğinden ortaya çıkarttığı fraktal şekillerin oluşum süreçleri [3] bize jeolojik, biyolojik hatta sosyolojik bazı olşumları hakkında da bilgi veriyor. Depremlerin, toprak kaymalarının, ekonomik krizlerin çok geniş bir yelpazeye yayılmış büyüklükleri ve sıklıklarını anlamamıza yardımcı oluyorlar.

Doğada ve toplumda pek çok etkileşim, metre ile ölçebileceğimiz uzaklıklara bağlı olmaksızın gerçekleşiyor: sosyal ya da ekonomik ilişki ağları, enerji iletişim ağları, türler arasında ekolojik ilişkiler, salgın hastalıkların yaygınlaşmasını sağlayan hava ulaşımı şebekeleri, “sosyal medya” denilen iletişim şebekeleri, bu ağlardan sadece bazıları. Farklı türde ağların üzerinde hasar yayılımı, senkronizasyon, kararlılık gibi olguları ağların dallanma ve kendi üzerine kapanma gibi (topolojik) özellikleri ile bağlantılandırmak, bir çok mühendislik problemine doğrudan veri sağlıyor. Farklı ağ yapılarının nasıl kendiliğinden ortaya çıktıklarını anlamak, kendi kendini onaran yapıları tasarlamamıza da imkan tanıyor.

Son on yıldır özellikle canlı hücrelerin işlevlerini belirleyen protein üretimini yöneten ağ yapılarının modellenmesi ile uğraşıyorum. [4] (Şekil 2) Buradan edinilebilecek en önemli ders, biyolojik işlevleri olan çok karmaşık yapılardan bazılarının, istatistiksel olarak tamamen kendiliğinden ortaya çıkabilecekleri, ama aynı zamanda, doğal seçilim sonucunda, bu yapıların çok ince biçimlerde ihtisaslaşmış oldukları ve olası rasgele yapılarla hiç de bire bir örtüşmedikleri. Biyolojiye bir istatistiksel fizikçi gözü ile baktığımızda mevcut biyo-evrenimizin olabilecek evrenlerden sadece biri olduğunu görüyoruz. Ancak evrimin, bu evreni çok özel ve şaşırtıcı biçimlerde “yontmuş” olduğunu, ve sonucun hiç de “jenerik,” ya da “tipik” bir rastlansal durum olmadığını da görüyoruz.

Şekil 2. Bira mayasını oluşturan bakterinin genleri arasındaki etkileşim ağının deneysel olarak tayin edilmiş haritası (solda) ve istatistiksel olarak ona tıpatıp benzeyen model ağ (sağda). Ayrıntılar için bkz. [4]

Şekil 2. Bira mayasını oluşturan bakterinin genleri arasındaki etkileşim ağının deneysel olarak tayin edilmiş haritası (solda) ve istatistiksel olarak ona tıpatıp benzeyen model ağ (sağda). Ayrıntılar için bkz. [4]

En son uğraştığım konu, ağ yapıları üzerinde yer alan sistemlerde hal değişimlerinin “kritik nokta” civarında betimlenmesi ile ilgili. [5] Sıvı-gaz geçişinde iki fazın (sıvı ile gazın) ayırdedilemez oldukları sıcaklık ve basınçta, bu farklı hallerin birbirleri içinde her büyüklükte damlacıklar oluşturdukları görülür. Mıknatısın sıcaklıkla mıknatısiyetiği kaybettiği noktada da (feromıknatıs ve paramıktanıs halleri) bu böyledir. Bu kritik noktalarda malzemenin davranışı, malzemenin topolojisi ile, dallanma derecesi ve koşut dolayımların çokluğu ile, yani malzemenin yapıtaşlarının nasıl bir ağ yapısı oluşturduğu ile, yakından ilişkilidir. “Renormalizasyon grubu”[6] tabir edilen bir yöntemi, genel ağ yapıları üzerinde de uygulanabilecek şekilde genelleştirdiğimizde, düzensiz yapılar, camlar, polimerler üzerinde yer alan hal değişimleri ile ilgili, şimdiye kadar gözlenmemiş olan bazı davranışları öngörebilmemiz mümkün olacaktır.

Kaynakça

  1. Sığırcık sürülerinin muhteşem dansı için bkz., örneğin, http://www.youtube.com/watch?v=eakKfY5aHmY&feature=related
  2. B.B. Mandelbrot, Fractal Geometry of Nature (Freeman, N.Y. 1983)
  3. A. Erzan, L.Pietronero, A. Vespignani, “The Fixed Scale Transformation Approach to Fractal Growth,” Rev. Mod. Phys. 67, 545 (1995) ve buradaki referanslar.
  4. D. Balcan, A. Kabakçıoğlu, M. Mungan, and A. Erzan, “The Information Coded in the Yeast Response Elements Accounts for Most of the Topological Properties of Its Transcriptional Regulation Network,” PLoS ONE 2,e501 (2007); B. Malkoç, D. Balcan, A. Erzan, “Information content based model for the topological properties of the gene regulatory network of E. coli,” J. Theor. Bio., 203, 281-294 (2010).
  5. E. Aygün, A. Erzan, “Spectral Renormalization Group theory on Networks,” J. Phys. Conf. Ser. 319, 012007 (2011).
  6. K. G.Wilson and J. Kogut, “The renormalization group and the ϵ expansion,” Phys. Rep. 12, 75 (1974).